Matriz categorial de Graceli.

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Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

1. INTRODUÇÃO

Em 1965 os físicos americanos Richard Feynman, Julian Schwinger e o japonês Sin-Itiro Tomonaga ganharam o prêmio Nobel de Física ^[1]

for their fundamental work in quantum electrodynamics, with deep-ploughing consequences for the physics of elementary particles.

Os três formularam a QED manifestamente covariante de Lorentz e descobriram uma maneira de eliminar os infinitos mantendo a invariância de gauge. Os trabalhos dos americanos foram feitos após a Conferência de Shelter Island em 1947. Já o de Tomonaga e seus colaboradores fora realizado durante a segunda guerra mundial, e por isso, desconhecido no ocidente até depois do final da guerra. Em 1948 Tomonaga envia uma carta a Oppenheimer resumindo o trabalho do seu grupo até então. Foi assim que o trabalho do grupo japonês ficou conhecido no ocidente.

É interessante notar que “os pais fundadores " da teoria quântica, como Dirac, Heisenberg, e outros nunca aceitaram a QED com o algoritmo da renormalização à la Feynman, Schwinger e Tomonaga. Para eles o problema dos infinitos deveria ser resolvido com novas idéias teóricas. Por exemplo, Bohr em particular foi decisivo dado a influência que teve nas nominações aos Prêmios Nobel. Para Ne'eman e Kirsh ^[2]

Feynman, Schwinger and Tomonaga shared the 1965 Nobel prize in physics. They could possibly have been awarded that prize several years earlier, but Niels Bohr also suspected the new theory and his negative attitude deterred the Nobel Committee from acknowledging it. The decision to give the Nobel prize to the authors of QED was made only after Bohr's death. When it was published ...R. Oppenheimer was in Israel ... He sent Feynman a telegram from Tel Aviv with only one word: enfin (at last, in French)

Parece que Bohr nunca aceitou o conceito de “fóton" ^[3].

De fato, muitos dos fundadores da mecânica quântica achavam que uma proposta revolucionária deveria ser feita para evitar os infinitos na QED. Dirac aos 75 anos disse ^[4]

I really spent my life trying to find better equations for quantum electrodynamics, and so far without success, but I continue to work on it.

A solução no entanto foi bem conservadora: redefina os pârametros livres da teoria mantendo a covariância de Lorentz e a invariância de gauge. Não se precisava de física nova.

A estrutura deste artigo é a seguinte. Na Sec. ^[2] consideramos a QED antes dos trabalhos de Feynman, Schwinger, e Tomonaga (FST). Na Sec. ^[3] discutimos os resultados principais da Conferência de Shelter Island que motivou os autores americanos a formular sua respectiva versão da QED renormalizável. A Sec. ^[4] é a principal, dado que o objetivo deste artigo é discutir os artigos de Feynman nos quais ele formula seu método de fazer cálculos finitos na QED. Na Sec. ^[5] comentamos as contribuições de dois físicos que também tiveram um papel importante na formulação da QED renormalizável, Dyson e Stückelberg. As concluções aparecem na Sec. ^[7].

2. A QED antes de Feyman-Schwinger-Tomonaga

Para poder apreciar a relevância dos trabalhos independentes de FST, devemos colocar o contexto em que seus trabalhos foram realizados. A eletrodinâmica quântica ou QED pela sigla em Inglês, começa com os artigos de Born-Jordan e Born-Heisenberg-Jordan de 1925 [^5 6-⁷]. Mas eles consideraram apenas a radiação eletromagnética no vácuo que era representada como uma superposição de ondas planas. Foi apenas em 1927 que Dirac ^[8] 9 leva em conta a interação da radiação com a matéria. Segundo Weisskopf, até então nada tinha sido feito na eletrodinâmica quântica ^[19]

However, before the publication of Dirac's 1927 paper, it was not possible to derive the expressions forρandj→$\rho and\overrightarrow{j}$within the atoms for the purpose of calculating the emission of light quanta. Actually, the Schrödinger equation allowed the calculation of transitions under the influence of an external radiation field, that is the absorption of light and the forced emission of an additonal photon in the presence of an incident radiation. The field of an incident light wave could be considered as a perturbation on the atom in the initial state; it was possible by means of the Schrödinger equation to calculate the probability of a transition, which turned out to be proportional to the intensity of the incident light wave. However, the emission by a transition from a higher to a lower state in a field-free vacuum could not be treated... Dirac's fundamental paper in 1927 changed all that.Quantum mechanics must be applied not only to the atom via the Schrodinger equation, but also to the radiation field. ¹

Assim, esse artigo de Dirac pode ser considerado o primeiro da QED.

Em 1928 Dirac propõe a equação relativística do elétron ^[10]. A teoria quântica de campos (TQC) nasce da união da mecânica quântica e da relatividade especial, mais alguns detalhes técnicos ^[11]. A teoria da interaç ao eletromagnética com uma partícula carregada é descrita pela equaç ao de Dirac, o acoplamento mínimo e as equações de Maxwell. Esta teoria teve muito sucesso desde o começo. Vejamos:

1. Explica o spin do elétron (Pauli tinha introduzido na equaç ao de Schrödinger um espaço bidimensional ad hoc).
2. Explica o fator giromagnético g=2$g=2$ sem usar a precessão de Thomas.
3. Explica o átomo de Hidrogênio obtendo-se a fórmula de Sommerfeld da estrutura fina ².

Posteriormente descobriu-se que prediz a existência de antimatéria e que as seções de choque diferenciais de espalhamentos como e−e−$e^{-}{e}^{-}$ (Moller), e+e−$e^{+}{e}^{-}$ (Bhabha), ee−λ$e{e}^{-}\lambda$ (Compton) foram calculados em primeira ordem. Esta última reação é descrita pela formula de Klein-Nishina ^[12], que foi verificada experimentalmente em 1929 por L. Meitner e H. H. Hupfeld ^[13]. Depois da descoberta do pósitron outros processos preditos pela teoria foram observados: Produçao e aniquilaçao de pares, bremsstrahlung, entre outros.

Podemos dizer que na ordem α a QED estava muito bem. Apenas tinha-se notado que as medidas do Bremsstrahlung com raios cósmicos de altas energias não estavam em acordo com suas predições e muitos pensavan que a teoria deixava de ser válida para energias da ordem de 100-300 MeV. Mais tarde ficaria claro que esse era um efeito dos múons e píons que ainda não tinham sido descobertos.

O problema era que quando se calculavam correçoes apareciam infinitos. Por exemplo, em 1930 Oppenheimer obteve evidência de divergências ultravioletas na autoenergia do elétron ^[14]:

W(p→)∼e2ℏ2c2ℏcE(p)∫∞kdk$$W\left(\overrightarrow{p}\right)\sim \frac{e^2{\hslash }^2{c}^2}{\hslash cE\left(p\right)}{\int }^{\infty }kdk$$

(1) [x]

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e que a diferença W(p→1)−W(p→2)$W\left({\overrightarrow{p}}_1\right)-W\left({\overrightarrow{p}}_2\right)$ ainda é infinita. Isso levaria a uma separação infinita das linhas espectrais, o que não é observado. Ainda que o resultado acima não esteja correto, porque não levou em conta a teoria completa e agora sabemos que a divergência é logarítmica, esse e outros fatos já indicavam que algo podia andar mal com a QED. A maioria dos artigos fundamentais para a formulação da QED podem ser encontrados no livro de Schwinger ^[15].

Consideremos a teoria clássica. A massa de uma partícula com carga e, o elétron por exemplo, inclui uma contribuição do campo elétrico:

mem=12∫E2d3x=12∫∞rce2r2r2dϕdθ,rc=2παℏmec2,$$\begin{array}{ccc}\hfill m_{em}& =& \frac{1}{2}\int E^2{d}^{3}x=\frac{1}{2}{\int }_{r_c}^{\infty }\frac{e^2}{r^2}{r}^{2}d\varphi d\theta ,\hfill \\ & & r_c=2\pi \alpha \frac{\hslash }{m_e{c}^2},\hfill \end{array}$$

(2)

[x]

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onde rc$r_c$ é o chamado raio clássico do elétron, e tem um valor de aproximadamente 10−15${10}^{-15}$ m. Nota-se que a massa vai para infinito se rc→0$r_c\to 0$. Ou seja, contribuições infinitas nas massas são um problema ainda na eletrodinâmica clássica. O problema se complica quando se leva em conta a relatividade, dado que nesse contexto o elétron não pode ter estrutura. É interessante que muitas das propostas feitas para corrigir infinitos que aparecem na QED tentavam resolver o problema primeiro na teoria clássica. Feynman e outros (como o próprio Dirac) pensavam que o problema na teoria quântica é que ela estava baseada na teoria clássica errada.

3. A Conferência de Shelter Island

Não é exagero afirmar que a conferência de Shelter Island em 1947 fixou a agenda da física para os próximos 30 anos. Ela teve como pontos principais a discussão de dois experimentos. O primeiro mediu uma pequena discrepância, no nível n=2$n=2$, na estrutura fina do átomo de Hidrogênio ^[16], e o outro a estrutura hiperfina do Hidrogênio e do Deutério, série Hα$H_{\alpha }$ (transições dos níveis superiores para o nível n=2$n=2$) e Dα$D_{\alpha }$, respectivamente ^[17]. Ambos resultados eram inconsistentes com a teoria de Dirac e constituem a primeira evidência de que algo deveria ser feito para obter resultados finitos nesses casos. A ideia da renormalização resolveria esses e outros problemas.

A estrutura fina do átomo de Hidrogênio, um elétron num campo de Coulomb, tem uma longa história. De 1891 até 1927 houve pelo menos 29 experimentos medindo esse efeito 5 deles até 1912. Curiosamente, a descoberta da estrutura fina do Hidrogênio, ou seja que as linhas do espectro visível desse átomo são na verdade duas linhas (dubleto), aconteceu um ano após Balmer observar as linha hoje chamadas da série de Balmer ou Hα$H_{\alpha }$, 25 anos antes modelo do átomo de Bohr. Michelson e Morley entre outros observaram que o espectro era mais complicado do que se pensava. Eles descobriram que a primeira linha da série Hα$H_{\alpha }$ é um dubleto com uma separação de 0,36cm−1$0,36{\mathrm{cm}}^{-1}$ [¹⁸-²⁰].

Como estas medidas foram muito importantes para a formulação da QED como uma teoria renormalizável, tentaremos deixá-las bem claro. Por linhas espectrais entenderemos, inicialmente, aquelas dadas pela teoria de Bohr com energia dependendo apenas do número atômico principal, n. Para o átomo do Hidrôgenio, como consequência da quantização do momento angular, a energia está quantizada, En=−αmc2/2n2,n=1,2,3,⋯$E_n=-\alpha m{c}^2/2n^2,n=1,2,3,\cdots$, pode-se obter para o inverso do comprimento de onda da série de Balmer (Hα$H_{\alpha }$)

1λ=−RH(122−1m2),m=3,⋯.$$\frac{1}{\lambda }=-R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{m^2}\right),m=3,\cdots .$$

(3)[x]

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onde RH$R_H$ é a constante de Rydberg, cujo valor pode ser encontrado em qualquer livro texto de física moderna.

Como não há dependência no momento angular orbital, l, ou na sua projeção no eixo-z, ml$m_l$, vemos da Eq. (3) que o nível fundamental 1s$1s$ é não degenerado, e que os níveis 2s$2s$ e 2p$2p$ são degenerados [²¹, ²²]. No entanto, as observações eram um pouco diferentes: todas as linhas do espectro visível atômico são dubletos. Por exemplo, no Hidrogênio e no Deutério a transição 3s→2p$3s\to 2p$ consiste em duas linhas, uma seria a transição 3s→2p3/2$3s\to 2p_{3/2}$ e a outra 3s→2p1/2$3s\to 2p_{1/2}$, ou seja o nível2p$2p$ consiste em dois estados com energias diferentes, e essa diferença de energia é ΔE=5,6×10−5$\Delta E=5,6\times {10}^{-5}$ eV. A expressão para energia En$E_n$ dos níveis de energia baseada na teoria de Bohr de 1913 não funciona desde a sua proposta.

Em 1914 quando Bohr soube dessas linha duplas, disse “The lines of the ordinary hydrogen spectra ... appear as close doublets ... it seems probable that the lines are not true doublets but are due to an effect of the electric discharge" ^[16], ou mesmo de um desvio da lei de Coulomb ^[18]. Em 1915 Wilson e, independentemente, Sommerfeld em 1916, introduziram as leis de quantização que além de ter a condição de Bohr como caso particular, era aplicável a sistemas com um número arbitrários de graus de liberdade.³. Com esta formulação Sommerfeld introduziu órbitas elípticas, e assim pode explicar a estrutura fina do Hidrogênio como um efeito relativístico que produzia uma correção de ordem α2${\alpha }^2$ às energias de Bohr. Isso justificava-se, segundo a velha teoria quântica, pela alta velocidade dos elétrons nesse átomo. No esquema de Sommerfeld a Eq. (3) era modificada e assim quebrava-se a degenerescênça dos níveis 2p$2p$, mas 2p1/2$2p_{1/2}$ ainda ficava degenerado com o 2s1/2$2s_{1/2}$. Seria a dependência da massa com a velocidade que explicaria o dubleto observado no espectro do átomo de Hidrogênio. Sommerfeld obtinha para o nível n=2$n=2$ a diferença entre a órbita circular e a elíptica, ΔE=0,365cm−1$\Delta E=0,365{\mathrm{cm}}^{-1}$ em acordo com o observado na época.

No entanto a estrutura fina ocorre em todos os átomos, inclusive os alcalinos nos quais a expressão de Sommerfeld era válida e, segundo a teoria quântica antiga, o elétron na camada exterior teria uma velocidade baixa e assim a correção relativística seria pequena ^[21]. Que os efeitos da velocidade não são dominantes ficou claro quando Schrödinger tentou usar a equação relativística (equação de Klein-Gordon) para o átomo de Hidrogênio. Ele a descartou porque não explicava o dubleto do Hα$H_{\alpha }$, já que obtinha 8/3 do valor de Sommerfeld ^[23]. Aíele voltou-se para a teoria não relativística e então obteve o resultado de Sommerfeld.

Este resultado continua sendo válido na teoria de Dirac ^[24]. Nela a estrutura fina para um elétron num campo Coulombiano deve-se a efeitos combinados da variação relativística da massa com a velocidade e a interação do spin do elétron, S$S$ com o momento angular orbital, L$L$, que produz um deslocamento das linhas espectrais ΔE=CS→⋅L→$\Delta E=C\overrightarrow{S}·\overrightarrow{L}$, onde C$C$ é uma constante positiva. De fato, a observação da estrutura fina foi a primeira indicação da existência do spin do elétron ^[25] 4 Esse deslocamento é pequeno sendo da ordem de α2${\alpha }^2$ eV, bem menor que a energia do nível 2p$2p$ do Hidrogênio,−3,4$-3,4$ eV. Mas lembremos que na teoria de Dirac os estados 2s1/2$2s_{1/2}$e 2p1/2$2p_{1/2}$ continuam degenerados. No início dos anos 30 obtinham-se resultados que não concordavam com a teoria de Dirac e, em 1938 Pastermak sugere que essa diferença de energia seria devido à separação dos níveis 2s1/2$2s_{1/2}$ e 2p1/2$2p_{1/2}$ ^[26], ou seja a posteriori essa seria a interpretação correta do Lamb-shift. No entanto, a tecnologia dos anos 30 ainda não permitia fazer medidas mais precisas. Isso somente seria possível após a segunda guerra.

De fato, depois da guerra Willis Lamb e Robert Retherford, usando espectroscopia de micro-ondas, técnicas desenvolvidas durante a segunda guerra, mediram ΔE(2s1/2−2p1/2)=1000$\Delta E(2s_{1/2}-2p_{1/2})=1000$ MHz, ou 0,033cm−1$0,033{\mathrm{cm}}^{-1}$ ^[27]. Se na teoria de Dirac para o átomo de Hidrogênio, o paradigma da época, previa que esses níveis seriam degenerados, então estaria a teoria rejeitada? Bethe foi o primeiro a calcular essa diferença de energia, numa aproximação não relativística, obtendo um valor de 1040 MHz ^[27] e usando a ideia da renormalização da massa calculou a diferença da separação dos níveis de um elétron ligado e um livre. Que esse efeito resulta de flutuações quânticas tinha sido sugerido por Victor Weisskopf e Robert Oppenheimer ^[28]. Essas flutuações dariam ao elétron uma energia adicional, ou autoenergia. O problema era que na teoria de Dirac a auto-energia é infinita. Hendrik Anthony Kramers que estava presente em Shelter Island deu a ideia da renormalização: na QED a energia do elétron é a soma de dois termos, a chamada de massa “nua", ou seja aquela que o elétron tem quando não está acoplado ao campo eletromagnético, e a autoenergia que tem como origem a autointeração com a radiação.

A medida de Lamb e Retherford deu o resultado:

(ΔEh)exp=(1057,77±0,10)MHz,$${\left(\frac{\Delta E}{h}\right)}_{\exp }=(1057,77\pm 0,10)\mathrm{MHz},$$

(4)

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O valor teórico na segunda ordem ^[29]

(ΔEh)2aordem=(1052,14±0,08)MHz,$${\left(\frac{\Delta E}{h}\right)}_{2a^{}\mathrm{ordem}}=(1052,14\pm 0,08)\mathrm{MHz},$$

(5)

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e na a${}^a$ ordem ^[30]

(ΔEh)4aordem=(1057,911±0,012)MHz.$${\left(\frac{\Delta E}{h}\right)}_{4a^{}\mathrm{ordem}}=(1057,911\pm 0,012)\mathrm{MHz}.$$

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Na conferência de Shelter Island apresentou-se também medidas da estrutura hiperfina do Hidrogênio e do Deutério ^[17]. Este é um efeito de interação do spin do elétron com o spin do próton S→e⋅S→p${\overrightarrow{S}}_e·{\overrightarrow{S}}_p$, isto induz um deslocamento negativo da energia do estado 1s$1s$ da ordem de 1,8×10−4$1,8\times {10}^{-4}$ eV, com E1s1/2>E1s−1/2$E_{1s_{1/2}}>E_{1s_{-1/2}}$ ^[22]. Esta é a transição de 0,21 m que permite identificar o Hidrogênio no meio interstelar. As estruturas fina e hiperfina têm várias contribuições. Na primeira, a mais importante é a polarização do vácuo, já na segunda a principal contribuição é a o momento magnético anômalo do elétron.

Na teoria de Dirac o fator giromagnético do elétron é ge=2$g_e=2$, ou ae=g−2=0$a_e=g-2=0$. Experimentalmente mede-se a=(g−2)/2$a=(g-2)/2$. O resultado experimental, aexe$a_e^{\mathrm{ex}}$, e o primeiro cálculo teórico de Schwinger, athe$a_e^{\mathrm{th}}$, são os seguintes:

aexpe=g−22=118(3)×10−6,athe=g−22=α2π=1162×10−6,$$\begin{array}{ccc}& & a_e^{\exp }=\frac{g-2}{2}=118\left(3\right)\times {10}^{-6},\hfill \\ & & a_e^{\mathrm{th}}=\frac{g-2}{2}=\frac{\alpha }{2\pi }=1162\times {10}^{-6},\hfill \end{array}$$

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a concordância entre teoria e experimento já era impressionante nessa época. Posteriormente medidas mais precisas exigiram cálculos mais precisos, mas a concordância ficou ainda mais impressionante ^[31]:

aexpe=g−22=(1159,65218091±0,00000026)×10−6,$$a_e^{\exp }=\frac{g-2}{2}=(1159,65218091\pm 0,00000026)\times {10}^{-6},$$

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e a diferença entre o valor medido e o cálculo teórico no contexto do modelo padrão é ^[32]

Δae=aexpe−aSMe=−0,91(0.82)×10−12,$$\Delta a_e=a_e^{\exp }-a_e^{\mathrm{SM}}=-0,91\left(0.82\right)\times {10}^{-12},$$

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sendo esta a medida mais precisa feita em física. A partir do valor medido de ae$a_e$ calcula-se a constante de estrutura fina, α$\alpha$, dado que ae$a_e$ é dado como uma série em α$\alpha$. No entanto no caso do múon existem discrepâncias que podem vir de nova física [³³, ³⁴]. Este é um assunto atual na pesquisa de física de partículas elementares.

Em 1955 o prêmio Nobel de física ^[35]

... was divided equally between Willis Eugene Lamb “for his discoveries concerning the fine structure of the hydrogen spectrum" and Polykarp Kusch “for his precision determination of the magnetic moment of the electron".

Todas as contribuições para a estrutura fina e hiperfina podem ser calculadas no contexto da QED incrementada com o algoritmo da renormalização que teve como pioneiros FST. A seguir comentaremos principalmente o trabalho de Feynman que, além de ser equivalente aos de Schwinger e Tomonaga, permitiu fazer cálculos perturbativos de maneira muito mais fácil e rápida.

4. Feynman e a QED

É interessante que os trabalhos de Feynman e Schwinger foram motivados pelos resultados experimentais apresentados na conferência de Shelter Isaland e nas duas póximas reuniões: em Pocono de 30 de março a 02 de abril de 1948, nas montanhas de Pocono na Pensilvânia e a de Oldstone de 11-14 de abril de 1949 perto de New York. Na primeira Schwinger foi a estrela, na segunda foi a vez de Feynman. No caso de Tomonaga os trabalhos foram realizados antes da primeira conferência.

O princípio guia de Feynman no desenvolvimento da QED renormalizável foi considerar diretamente as soluções das equações de Hamilton em vez das próprias equações e, está inspirado na formulação Lagragiana da mecânica quântica proposta pelo próprio Feynman [³⁶, ³⁷], seguindo um artigo de Dirac ^[38].

Os trabalhos principais de Feynman sobre a QED são [³⁹, ⁴⁰], e sua palestra na cerimônia do Prêmio Nobel vale a pena de ser lida ^[41] 5. Ainda que Feynman publicou mais dois trabalhos importantes sobre a QED [⁴², ⁴³] aqui comentaremos apenas os dois primeiros.

No primeiro artigo “The Theory of Positrons" ^[39] 6 reformula a teoria dos buracos de Dirac: os pósitrons são elétrons de energia negativa viajando na direção inversa do tempo. Ideia passada a ele pelo orientador de doutorado John Wheeler e que também já tinha sido proposta por Stückelberg em 1938. No artigo são considerados elétrons e pósitrons na presença de um potencial externo. Reconhecem-se quatro possibilidades: espalhamento do elétron e→e$e\to e$, espalhamento do pósitron e+→e+$e^{+}\to e^{+}$, criação de pares 0→e+e−$0\to e^{+}{e}^{-}$, e aniquilação de pares e+e−→0$e^{+}{e}^{-}\to 0$ (neste trabalho ainda não foram considerados fótons, ou seja ainda não é a QED). As amplitudes de transição de um estado inicial a um estado final são obtidas perturbativamente, em qualquer ordem do potencial, considerando-se uma série de espalhamentos. Como não se consideram interações, as amplitudes de transição de vários elétrons e/ou pósitrons são o produto das transições de cada partícula e, em processos que diferem apenas pela troca de partículas o princípio de Pauli deve ser usado, mas não para o caso de estados intermediários. A reinterpretação da teoria dos “buracos" em termos dos pósitrons permite fazer cálculos mais facilmente. Na teoria dos buracos de Dirac a QED é vista como uma teoria de muitos corpos. Fazer segunda quantização nesse contexto é complicado ^[12]. Mas, considerando pósitrons o problema fica semelhante a uma teoria perturbativa da equação de Schrödinger de um ou vários elétrons. De fato, isso é comum a qualquer teoria quântica de campos. Ela é sempre uma teoria de muitos corpos, mas eles são substituídos pelo número infinito de graus de liberdade do campo. Nos diagramas segue-se a carga e não as partículas, o que corresponde a considerar a linha de mundo contínua e não a quebrada em partes. Esta maneira de formular a teoria é diferente do método Hamiltoniano no qual considera-se uma evolução no tempo. Um conceito importante (ainda que não indispensável) é o pósitron.⁷ Segundo o próprio Feynman:

The idea that positrons can be represented as electrons with proper time reversed relative to the true time has been discussed by the author and others, particularly by E. C. G. Stückelberg, Helv. Phys. Acta, 15, 23 (1942); R. P. Feynman ^[44].

Os resultados podem ser mais facilmente compreendidos do ponto de vista de espalhamento de ondas. No artigo TP, Feynman analisa a teoria não relativística e logo a de Dirac com estados de energia negativa, ou seja todos os estado movendo-se na direção temporal t>0$t>0$.

i∂ψ/∂t=Hψ,$$i\partial \psi /\partial t=H\psi ,$$

(10)

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onde se for a mecânica quântica não relativística, H$H$ é a Hamiltoniana de Schödinger, e se for a equação de Dirac H$H$ é uma matriz 4×4$4\times 4$.

A seguir usaremos a notação de Feynman para um ponto no espaço-tempo i=(ti,r→i),$i=(t_i,{\overrightarrow{r}}_i),$ onde i=1,2,3,4...$i=1,2,3,4...$Assim, se ψ(1)$\psi \left(1\right)$ é a função de onda em r→1${\overrightarrow{r}}_1$ e t1$t_1$, qual será a função em r→2${\overrightarrow{r}}_2$ e t2$t_2$? ou seja ψ(2)$\psi \left(2\right)$? Em um instante de tempo Δt$\Delta t$, seria usar o operador de evolução e−iHΔt$e^{-iH\Delta t}$ mas, também podemos escrever⁸

ψ(2)=∫K(2,1)ψ(1)d3r1,$$\psi \left(2\right)=\int K(2,1)\psi \left(1\right)d^3{r}_1,$$

(11)

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

onde K$K$ é a função de Green ou propagador da Eq. (10), e significa a amplitude total de chegar ao ponto 2 saindo do ponto 1, ou seja K(2,1)$K(2,1)$ obedece à equação ⁹

(i∂/∂t2−H2)K(2,1)=δ4(2−1),$$(i\partial /\partial t_2-H_2)K(2,1)={\delta }^4(2-1),$$

(12)

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

onde o subscrito 2 em H2$H_2$ significa que o operador atua apenas nas variáveis 2 de K(2,1)$K(2,1)$. Se a partícula estiver no estado ψ(1)$\psi \left(1\right)$ no ponto 1, e no estado χ(2)$\chi \left(2\right)$ no ponto 2, então a amplitude de transição será dada por

∫χ∗(2)K(2,1)ψ(1)d3r1d3r2,$$\int {\chi }^{*}\left(2\right)K(2,1)\psi \left(1\right)d^3{r}_1{d}^3{r}_2,$$

(13)x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

No caso relativístico χ∗=χ†γ0${\chi }^{*}={\chi }^{†}{\gamma }^0$. Se a partícula está num potencial fraco U(i)$U\left(i\right)$ (quando é possível aplicar teoria de perturbações) calcula-se K(2,1)$K(2,1)$ se U$U$ difere de zero apenas para tempos t$t$ entre t1$t_1$ e t2$t_2$,

K(2,1)=K0(2,1)+K(1)(2,1)+K(2)(2,1)+⋯$$K(2,1)=K_0(2,1)+K^{\left(1\right)}(2,1)+K^{\left(2\right)}(2,1)+\cdots$$

(14)

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

onde K0(2,1)$K_0(2,1)$ é o caso quando U=0$U=0$. Se U$U$ é diferente de zero apenas num intervalo de tempo Δt3$\Delta t_3$ entre t3$t_3$ e t3+δt3$t_3+\delta t_3$, então se ψ(1)$\psi \left(1\right)$ en 1, teremos em 3

ψ(3)=∫K(3,1)ψ(1)d3r1,$$\psi \left(3\right)=\int K(3,1)\psi \left(1\right)d^3{r}_1,$$

(15) x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

a partícula é livre entre t1$t_1$ e t3$t_3$. Continuando nessa linha de raciocínio Feynman chega a

K(1)(2,1)=−i∫K0(2,3)U(3)K0(3,1)dτ3,$$K^{\left(1\right)}(2,1)=-i\int K_0(2,3)U\left(3\right)K_0(3,1)d{\tau }_3,$$

(16)

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl