onde dτ3=d3r3dt3$d{\tau }_3=d^3{r}_{3}d{t}_3$. Esse caso é ilustrado na Fig. 1a). Na Fig. 1b) aparece uma possível correção

Figura 1 Espalhamento de um elétron num potencial A numa região segundo a teoria de Dirac. Do artigo na Ref. ^[39]  

K(2)(2,1)=×−i∫∫K0(2,4)U(4)K0(4,3)U(3)K0(3,1)dτ3dτ4,$$\begin{array}{ccc}\hfill K^{\left(2\right)}(2,1)& =& -i\int \int K_0(2,4)U\left(4\right)K_0(4,3)U\left(3\right)\hfill \\ & \times & K_0(3,1)d{\tau }_{3}d{\tau }_4,\hfill \end{array}$$

(17)

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

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Estes caso vale tanto para a equação de Schrödinger como para a equação de Dirac (entendida como aquela com elétrons de energia positiva e negativa ambos tipos movendo-se para frente no tempo). Mas na teoria do pósitron de Feynman estes movem-se na diferção t<0$t<0$. Neste caso muda-se um pouco a notação, U→A≡A0γ0−γ→⋅A→≡Ⱥ$U\to A\equiv A^0{\gamma }^0-\overrightarrow{\gamma }·\overrightarrow{A}\equiv Ⱥ$, onde as γ's$\gamma \text{'}s$ são as matrices de Dirac. ¹⁰

Neste caso a equação de Dirac

(i∂−m)ψ=Aψ,$$(i\partial -m)\psi =A\psi ,$$

(18) x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

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e define-se o propagador K+(2,1)$K_{+}(2,1)$ como

(i∂−m)K+(2,1)=δ4(2,1),$$(i\partial -m)K_{+}(2,1)={\delta }^4(2,1),$$

(19)

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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ou seja sem a presença do potencial.

Se incluimos um potencial A$A$ temos que a função de Green satisfaz a equação

(i∂2−A(2)−m)K(A)+(2,1)=δ4(2,1),$$(i{\partial }_2-A\left(2\right)-m)K_{+}^{\left(A\right)}(2,1)={\delta }^4(2,1),$$

(20) x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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por exemplo, a correção de primeira ordem para K+(2,1)$K_{+}(2,1)$, análoga à da Eq. (16), é

K(1)(2,1)=−i∫K+(2,3)A(3)K+(3,1)dτ3,$$K^{\left(1\right)}(2,1)=-i\int K_{+}(2,3)A\left(3\right)K_{+}(3,1)d{\tau }_3,$$

(21) x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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P l    Ml                 tfefel 

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         Dl

e em segunda ordem é

K(2)+(2,1)=×−i∫∫K+(2,4)A(4)K+(4,3)A(3)K+(3,1)dτ3dτ4,$$\begin{array}{ccc}\hfill K_{+}^{\left(2\right)}(2,1)& =& -i\int \int K_{+}(2,4)A\left(4\right)K_{+}(4,3)A\left(3\right)\hfill \\ & \times & K_{+}(3,1)d{\tau }_{3}d{\tau }_4,\hfill \end{array}$$

(22)

x

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e, em geral, temos a equação integral

K(A)+(2,1)=×K+(2,1)−i∫∫K+(2,3)A(3)K(A)+(3,1)dτ3.$$\begin{array}{ccc}\hfill K_{+}^{\left(A\right)}(2,1)& =& K_{+}(2,1)-i\int \int K_{+}(2,3)A\left(3\right)\hfill \\ & \times & K_{+}^{\left(A\right)}(3,1)d{\tau }_3.\hfill \end{array}$$

(23)

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Ou seja, Feynman mostra que a equação de Dirac permite outra solução, K+(2,1)$K_{+}(2,1)$, se consideramos que as ondas espalhadas pelo potencial podem se mover para trás no tempo. O exemplo aparece na Fig. 2. Uma onda espalhada num potencial pode se mover na direção negativa do tempo, ver a Fig. 2a). Nas Figs. 2b) e c) aparecem duas correções de segunda ordem diferentes. A segunda, Fig. 2c) não aconteceria na teoria de Dirac de um elétron na qual elétrons de energias positivas ou negativas se movem sempre para frente no tempo. No caso da teoria do pósitron há uma produção de pares no ponto 4 da Fig. 2c). Nesta teoria os elétrons não podem estar num estado de energia negativa. A interpretação de Stückelber-Feynman dos pósitrons deve dar os mesmos elementos de matrizes que a teoria de um elétron, mas facilita outras coisas como o cálculo das correções radiativas e facilita também, como discutido no início desta seção obter os quatro processos possíveis com uma mesma interação. Feynman considera brevemente o caso quando o elétron não está sendo espalhado, mas quando este se move num potencial fixo, V$V$, como no caso do átomo de Hidrogênio.

Figura 2 O mesmo que na Fig. 1 mas na reinterpratação de Feynman no artigo TP. Ref. ^[39]  

No resto do artigo, Feynman discute o caso envolvendo várias cargas distintas, o problema do vácuo, e a representação energia-momento. Aqui vamos apenas mencionar que ele obteve a transformada de Fourier de K+(2,1)$K_{+}(2,1)$:

ip−m,$$\frac{i}{\cancel{p}-m},$$

(24)

x

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que é a conhecida expressão de Feynman para o propagador de um férmion de Dirac. E, num apêndice mostra a equivalência da teoria da segunda quantização com a teoria do pósitron.

O segundo artigo Space-time Approach of Quantum Electrodynamics^[39] 11 foi escrito simultaneamente com o TP. No ST, Feynman mostra uma maneira simplificada de escrever os elementos de matrizes de processos complicados entre fótons e elétrons/pósitrons, modifica-se a eletrodinâmica alterando as interações dos elétrons em curtas distâncias e obtém que os elementos de matriz são finitos. Os únicos efeitos sensíveis a essas modificações são as mudanças na massa e a carga do elétron, ou seja, seus efeitos que não podem ser observados diretamente. Obtém-se assim, um método completo, sem ambiguidades para calcular todos os processos envolvendo elétrons-pósitrons e fótons. Os elementos de matriz são finitos com a exceção, aqueles relacionados comf a polarização do vácuo ¹⁰. Feynman considera também a eletrodinâmica escalar, ou seja, um campo escalar complexo interagindo com o fóton, e ainda a teoria dos mésons. No apêndice Feynman mostra um método para calcular as integrais que aparecem nos elementos de matriz dos processos mais simples.

No ST, Feynman também leva em conta a emissão e absorção de fótons, sempre começando pelo caso não relativístico com a Eq. (10). Considerem duas partículas, a$a$ e b$b$. A função de onda em um dado tempo é uma função das coordenadas r→a,r→b${\overrightarrow{r}}_a,{\overrightarrow{r}}_b$ de cada partícula, ψ(t,r→a,r→b)$\psi (t,{\overrightarrow{r}}_a,{\overrightarrow{r}}_b)$. Seja K(t,r→a,r→b;t′,r→′a,r→′b)$K(t,{\overrightarrow{r}}_a,{\overrightarrow{r}}_b;t^{\prime },{\overrightarrow{r}}_a^{\prime },{\overrightarrow{r}}_b^{\prime })$ a amplitude que a partícula a$a$ esteja em r→a${\overrightarrow{r}}_a$ num tempo t$t$ se no tempo t′$t^{\prime }$ esteve em r→′a${\overrightarrow{r}}_a^{\prime }$, o mesmo para a partícula b$b$. Se as partículas são livres e não interagem, temos que a amplitude total é o produto das amplitudes de cada partícula i.e.,¹³

K(t,r→a,r→b;t′,r→′a,r→′b)=K0a(t,r→a;t′,r→′a)K0b(t,r→b;t′,r→′b),$$K(t,{\overrightarrow{r}}_a,{\overrightarrow{r}}_b;t^{\prime },{\overrightarrow{r}}_a^{\prime },{\overrightarrow{r}}_b^{\prime })=K_{0a}(t,{\overrightarrow{r}}_a;t^{\prime },{\overrightarrow{r}}_a^{\prime })K_{0b}(t,{\overrightarrow{r}}_b;t^{\prime },{\overrightarrow{r}}_b^{\prime }),$$

(25)

x

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onde K0a$K_{0a}$ é uma função como a K0$K_0$ definida na Eq. (14), no artigo anterior para uma partícula considerada livre. Neste caso, podemos definir uma quantidade como K$K$, e o tempo t$t$ ou t′$t^{\prime }$ não precisa ser o mesmo para ambas partículas, a$a$ e b$b$; podemos, então, escrever a amplitude de que a partícula a$a$ vai de r→1${\overrightarrow{r}}_1$ em t1$t_1$ até r→3${\overrightarrow{r}}_3$ em t3$t_3$; e a partícula vai b$b$ vai de r→2${\overrightarrow{r}}_2$ em t2$t_2$ a r→4${\overrightarrow{r}}_4$ em t4$t_4$:

K0(3,4;1,2)=K0(3,1)K0(4,2).$$K_0(3,4;1,2)=K_0(3,1)K_0(4,2).$$

(26)

x

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Mas, quando existe interação podemos definir a quantidade K0(3,4;1,2)$K_0(3,4;1,2)$ se a interação é nula entre t1$t_1$ e t2$t_2$ e também entre t3$t_3$ e t4$t_4$. Na prática isso não acontece. Mas Feynman assume que para problemas práticos, para intervalos de tempo longos, t3−t1$t_3-t_1$ e t4−t2$t_4-t_2$, as interações extras perto dos tempos iniciais e finais sejam desprezíveis. Para uma partícula que obedeça a equação de Dirac define-se K+$K_{+}$ como no artigo TP. Consideremos a Fig. 3. A a amplitude de que a partícula a$a$ vai de 1 até 3, e a partícula b$b$ vai de 2 até 4, sendo alterada em primeira ordem pela troca de um fóton entre os pontos 5 e 6: ¹⁴ onde dτi=dtid3r→i$d{\tau }_i=d{t}_i{d}^3{\overrightarrow{r}}_i$, 

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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Figura 3 Interação entre dois elétrons segundo a Ref. ^[40]. 

K(1)(3,4;1,2)=−ie2∫∫K+a(3,5)K+b(4,6)×γaμγbμδ+(s256)K+a(5,1)K+b(6,2)dτ5dτ6$$\begin{array}{c}\hfill K^{\left(1\right)}(3,4;1,2)=-i{e}^2\int \int K_{+a}(3,5)K_{+b}(4,6)\\ \hfill \times {\gamma }_{a\mu }{\gamma }_{b\mu }{\delta }_{+}\left(s_{56}^2\right)K_{+a}(5,1)K_{+b}(6,2)d{\tau }_{5}d{\tau }_6\end{array}$$

(27)

x

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δ+(x)=∫∞∞eiwxdw/π=δ(x)+1iπx.$${\delta }_{+}\left(x\right)={\int }_{\infty }^{\infty }{e}^{iwx}dw/\pi =\delta \left(x\right)+\frac{1}{i\pi x}.$$

(28)

x

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A Eq. (27) é a analoga à Eq. (22) e é, segundo Feynman, a equação fundamental da eletrodinâmica. Esta equação pode ser vista graficamente na Fig. 3. Isso mostra que a cada diagrama de Feynman corresponde uma expressão matemática. Um dado processo, no entanto pode ter vários diagramas de Feynman associados. Até aqui foram consideradas as amplitudes no espaço das coordenadas, mas é mais fácil na prática usar o espaço do momento-energia fazendo a transformada de Fourier daquelas. Isso também é feito no artigo de Feynman.

Vejamos um exemplo. Feynman a seguir considera o problema da autoenergia do elétron, ou seja a ação de um elétron sobre si mesmo. Ver Fig. 4. Neste caso a amplitude K(2,1)$K(2,1)$ para uma partícula chegue a 2 vindo de 1, difere de K+(2,1)$K_{+}(2,1)$ na primeira ordem em e2$e^2$ pelo termo que, na notação da Eq. (27) escreve-se no espaço dos momentos seria o elemento de matriz entre u¯(Σ)u$\overline{u}\left(\Sigma \right)u$:

Figura 4 Diagrama correspondente à Eq. (29). Ref. ^[40]. 

K(1)(2,1)=×−ie2∫∫K+(2,4)γμK+(4,3)γμγbμδ+(s243)K+(3,1)dτ5dτ6$$\begin{array}{ccc}\hfill K^{\left(1\right)}(2,1)& =& -i{e}^2\int \int K_{+}(2,4){\gamma }_{\mu }{K}_{+}(4,3)\hfill \\ & \times & {\gamma }_{\mu }{\gamma }_{b\mu }{\delta }_{+}\left(s_{43}^2\right)K_{+}(3,1)d{\tau }_{5}d{\tau }_6\hfill \end{array}$$

(29)

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ΔE=e2∫(u¯γμK+(4,3)γμu)eip⋅x43δ+(s243)dτ4,$$\Delta E=e^2\int \left(\overline{u}{\gamma }_{\mu }{K}_{+}(4,3){\gamma }_{\mu }u\right)e^{ip·x_{43}}{\delta }_{+}\left(s_{43}^2\right)d{\tau }_4,$$

(30)

x

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∑(p)=(e2/iπ)∫γμ1(p−k−m)k2γμd4k,$${\displaystyle \sum \left(p\right)=\left(e^2/i\pi \right){\displaystyle \int {\gamma }_{\mu }\frac{1}{\left(\cancel{p}-\cancel{k}-m\right)k^2}{\gamma }_{\mu }{d}^{4}k,}}$$

(31)

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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note que Eq. (31), assim com as anteriores é uma matriz 4×4$4\times 4$. Na Fig. 5 se mostra a atribuição dos momentos para o processo na Fig. 4.

Figura 5 Diagrama correspondente à Eq. (31). Ref. ^[40]  

Até agora, tudo que o descrevemos apareceria na eletrodinâmica quântica convencional, leia-se antes de FST. No entanto, a maneira como Feynman a reformula é realmente original. Agora ele vai ao X da questão. Acontece que as expressões das Eqs. (30) e (31) produzem resultados infinitos quando calculadas e aqui é que aparece a contribuição principal da QED renormalizável. Feynman se inspira nos seus trabalhos realizados pouco antes nos quais introduz um cut-off, λ$\lambda$, no contexto da eletrodinâmica clássica ^[44] e quântica ^[45]. Ele obtém da Eq. (31)uma parte que não depende de p$p$

Δm=me22π(3lnλm+34).$$\Delta m=m\frac{e^2}{2\pi }\left(3ln\frac{\lambda }{m}+\frac{3}{4}\right).$$

(32)

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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Então resultados finitos são obtidos se renormalizamos a massa.

Em continuação Feynman usa estes resultados para calcular as correções radiativas ao espalhamento de um elétron com um potencial externo ¹⁵ o qual é mostrado na Fig. 6. A soma dos três diagramas é finita, ou seja não depende do cut-off λ$\lambda$, obtém-se, para q$q$ pequeno

Figura 6 Correções radiativas de 1-loop ao espalhamento de elétron por um potencial externo (Coulomb). Ref. ^[40]. O resultado final se mostra na Eq. (33). 

e24π[12mqμσμν+2q23m2γν(lnmλmin−38)]Aν,$$\frac{e^2}{4\pi }\left[\frac{1}{2m}{q}_{\mu }{\sigma }^{\mu \nu }+\frac{2q^2}{3m^2}{\gamma }^{\nu }\left(ln\frac{m}{{\lambda }_{min}}-\frac{3}{8}\right)\right]A_{\nu },$$

(33)

x

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